GALAT ( error ) pada Metode Numerik

GALAT ( error ) pada Metode Numerik

            Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan aritmatik sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaiannya mungkin memerlukan puluhan bahkan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan dan seterusnya.

            Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analitis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya.

            Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai GALAT (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

            Masalah-masalah matematika yang sering kita hadapi merupakan masalah matematika yang diselesaikan dengan metode analitik atau metode sejati, yaitu suatu metode yang memberikan solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, karena memiliki galat (error) yang bernilai nol. Tetapi penyelesaian dengan menggunakan metode analitik hanya terbatas pada masalah tertentu saja. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusinya masih dapat dicari yaitu dengan menggunakan metode numerik. Pada metode numerik solusinya merupakan hampiran (pendekatan) terhadap solusi sejati.

Ada beberapa alasan mengapa mempelajari metode numerik, yaitu:
1) Metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik.

2) Program paket numerik, misalnya MATLAB, MAPLE, dan sebagainya yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika dengan metode numerik dibuat oleh orang yang mempunyai dasar-dasar teori metode numerik.

3) Banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software) untuk masalah sendiri.

4) Metode numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari penggunaan komputer. Belajar pemrograman secara efektif adalah menulis program komputer. Metode numerik mengandung bagian yang dirancang untuk diterapkan pada komputer, misalnya membuat algoritma.

5) Metode numerik merupakan suatu sarana untuk lebih memahami matematika. Karena fungsi metode numerik adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi dengan operasi-operasi hitungan dasar.

Tahap-tahap dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik
dengan memakai alat bantu komputer secara umum adalah:
1) Pemodelan
2) Pemilihan metode (algoritma) numerik
3) Pemrograman (koding)
4) Dokumentasi
 5) Penafsiran hasil.

APROKSIMASI DAN GALAT

1.1  Kekeliruan , Kesalahan perumusan dan Ketidakpastian Data

Walau sumber kesalahan di bawah ini secara langsung tak dihubungkan dalam metode

numerik, dampak dari kesalahan ini cukup besar.

A.       Kekeliruan.

Kesalahan bruto/kekeliruan.

Tahun awal penggunaan komputer, komputer sering kali gagal pakai (malfunction).

Sekarang kekeliruan ini dihubungkan dengan ketidaksempurnaan manusianya.

Kekeliruan  dapat  terjadi  pada  sembarang  langkah  proses  pemodelan  matematika  dan  dapat mengambil bagian terhadap semua komponen kesalahan lainnya. Ia hanya dapat dicegah oleh pengetahuan yang baik tentang prinsip dasar dan berhati-hatilah dalam melakukan pendekatan dan mendesain solusi untuk masalah anda.

Biasanya tak dianggap dalam pembahasan metode numerik.  Ini terjadi, karena kesalahan bruto sampai taraf tertentu tak dapat dihindari. Tapi tentu saja pasti ada cara untuk memperbaiki keadaan ini.

Misalnya:  kebiasaan  pemrograman  yang  baik,  seperti  yang  dibahas  dalam  bab  2,  sangat berguna untuk mengurangi kekeliruan pemrograman. Sebagai tambahan, terdapat juga cara-

cara  sederhana  untuk  memeriksa  apakah  suatu  metode  numerik  tertentu  bekerja  secara sempurna.

B.       Kesalahan Perumusan.

Kesalahan perumusan model dihubungkan dengan penyimpangan yang dapat dianggap berasal dari model matematika yang tak sempurna.

Contoh: fakta bahwa hukum Newton kedua tak menghitung efek relativistik. Ini tak mengurangi

kelayakan solusi pada contoh sebelumnya, karena kesalahan-kesalahan ini adalah minimal pada skala waktu dan ruang dari seorang penerjun payung.

 Anggap  bahwa  tahanan  udara  bukan  proporsi  linier  terhadap  kecepatan  jatuh  seperti  dalam persamaan  tetapi merupakan sebuah fungsi kuadrat kecepatan. Kalau hal ini benar, baik

kedua  solusi  analitis  maupun  numerik  yang  diperoleh  dalam  bab  1  hasilnya  menjadi  salah

karena kesalahan perumusan.

C.       Ketidakpastian Data.

Kesalahan-kesalahan seringkali masuk ke dalam suatu analisis karena ketidakpastian data fisika yang mendasari suatu model.

Misalnya kita ingin menguji model penerjun payung dengan loncatan-loncatan berulang yang dibuatnya, mengukur kecepatan orang tersebut setelah interval waktu tertentu.

Ketidakpastian  yang  menyertai  pengukuran-pengukuran  ini  tak  diragukan,  karena  penerjun akan  jatuh  lebih  cepat  selama  beberapa  loncatan  daripada  loncatan  lainnya.  Kesalahan-

kesalahan ini dapat memunculkan ketidak akuratan dan ketidak presisian.

Jika  instrumen  kita  menaksir  terlalu  rendah  atau  terlalu  tinggi  terhadap  kecepatan,  kita menghadapi suatu alat yang tak akurat atau menyimpang.

Pada keadaan lainnya, jika pengukuran tinggi dan rendah secara acak, kita akan berhadapan dengan sebuah pertanyaan mengenai kepresisian.

Kesalahan-kesalahan  pengukuran  dapat  dikuantifikasikan  dengan  meringkaskan  data  dengan

satu  atau  lebih  statistik  yang  dipilih  yang  membawa  sebanyak  mungkin  informasi  mengenai sifat-sifat data tertentu.

Statistik  yang  deskriptif  ini  kebanyakan  sering  dipilih  untuk  menyatakan  (1)  letak  pusat distribusi  data,  dan  (2)  tingkat  penyebaran  data.  Hal  demikian  memberikan  suatu  ukuran penyimpangan dan ketidakpresisian.

1.2  Analisis Galat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

Nilai sejati ( true value ) = Hampiran (aproksimasi) + Galat

Misalkan  adalah nilai hampiran terhadap nilai sejatinya a , maka selisih

disebut Galat. Jika tanda Galat ( positif atau negatif ) tidak dipertimbangkan , maka Galat mutlak

Ukuran galat kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

Galat Relatif didefinisikan sebagai

Atau dalam persentase

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga relatif sejati. Dalam praktek ketika kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat sering dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran

Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat tanpa mengetahui nilai sejatinya. Misalnya, metode numerik tertentu memakai pendekatan secara iterasi untuk menhitung jawaban. Dalam pendekatan yang demikian, suatu aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya. Proses ini dilakukan secara berulang , atau secara iterasi dengan maksud secara beruntun menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik. Jadi, persen galat relatif :

Komputasi diulang sampai

Nilai menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai semakin teliti solusinya.

Soal

1. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. hitunglah galat, galat mutlak, dan galat relatif hampiran.
2. Prosedur iterasi sebagai berikut  r = 0, 1, 2, 3, ...

dan = 0.00001

Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik

1. Galat pembulatan ( round-off error )

Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal inikomputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalamkomputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkangalat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya

1/10 = 0.000110011001100110011 00110011…2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua buah cara penyajian bilangan riil, yaitu bilangan titik-tetap (fixed point) dan bilangan titik-kambang (floatingpoint) Dalam format bilangan titik -tetap setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358, 0.013, 1.000. Sedangkan dalam format bilangan titik-kambang setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya 0.6238 103 0.1714 10-13 atau ditulis juga 0.6238E+03 0.1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik-kambang disebut juga angka bena (significant figure). Konsep angka bena dijelaskan berikut ini.

Contohnya:

43.123                   memiliki 5 angka bena (yaitu 4,3,1,2,3)

0.0000012             memiliki 2 angka bena (yaitu 1,2)

270.0090               memiliki 7 angka bena (yaitu 2,7,0,0,0,9,0)

2. Galat Pemotongan ( truncation error )

Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah komputasi yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam metode numerik yang penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi yang  jumlahnya tak terhingga, sehingga untuk membatasi proses penghitungan, jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n. Hasil penghitungan sampai langkah ke n akan menjadi hasil hampiran dan nilai penghitungan langkah n keatas akan menjadi galat pemotongan. dalam hal ini galat pemotongan kan menjadi sangat kecil sekali jika nilai n di perbesar. Konsekuensinya tentu saja jumlah proses penghitungannya akan semakin banyak.

            Contoh:

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xₒ = 1 untuk menghampiri ln(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemtongan maksimum yang dibuat.

Penyelesaian:

Tentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) terlabih dahulu

f(x) = ln(x)                               f(1)=0

f’(x) = 1/x                                f’(1)=1

f’’(x) = -1/x2                                f’’(1)=-1

f’’’(x) = 2/x3                                f’’’(1)=2

f(4)(x) = -6/x4                              f(4)(1)=-6

f(5)(x) = 24/x5                          f(5)(c)=24/c5

Deret Taylornya adalah

ln(x) = (x-1) – (x-1)2/2 + (x-1)3/3 – (x-1)4/4 + R4(x)

dan

ln(0.9) = -0.1 – (-0.1)2/2 + (-0.1)3/3 – (-0.1)4/4 + R4(x) = -0.105358 + R4(x)

juga

Dan nilai Max |24/c5| di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada c = 0.9 (dengan mendasari pada fakta bahwa pada suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil). Sehingga

Jadi ln(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034.

3.       Galat Total

          Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya menggunakan deret Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0.2) sebagai berikut:

Cos(0.2) ≈ 1 – 0.22/2 + 0.24/24 ≈ 0.9800667

Selain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain :

1. Galat eksperimental , galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.
2. Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging.