GALAT ( error ) pada Metode Numerik

GALAT ( error ) pada Metode Numerik

            Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan aritmatik sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaiannya mungkin memerlukan puluhan bahkan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan dan seterusnya.

            Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analitis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya.

            Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai GALAT (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

            Masalah-masalah matematika yang sering kita hadapi merupakan masalah matematika yang diselesaikan dengan metode analitik atau metode sejati, yaitu suatu metode yang memberikan solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, karena memiliki galat (error) yang bernilai nol. Tetapi penyelesaian dengan menggunakan metode analitik hanya terbatas pada masalah tertentu saja. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusinya masih dapat dicari yaitu dengan menggunakan metode numerik. Pada metode numerik solusinya merupakan hampiran (pendekatan) terhadap solusi sejati.

Ada beberapa alasan mengapa mempelajari metode numerik, yaitu:
1) Metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik.

2) Program paket numerik, misalnya MATLAB, MAPLE, dan sebagainya yang digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika dengan metode numerik dibuat oleh orang yang mempunyai dasar-dasar teori metode numerik.

3) Banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software) untuk masalah sendiri.

4) Metode numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari penggunaan komputer. Belajar pemrograman secara efektif adalah menulis program komputer. Metode numerik mengandung bagian yang dirancang untuk diterapkan pada komputer, misalnya membuat algoritma.

5) Metode numerik merupakan suatu sarana untuk lebih memahami matematika. Karena fungsi metode numerik adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi dengan operasi-operasi hitungan dasar.

Tahap-tahap dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik
dengan memakai alat bantu komputer secara umum adalah:
1) Pemodelan
2) Pemilihan metode (algoritma) numerik
3) Pemrograman (koding)
4) Dokumentasi
 5) Penafsiran hasil.

APROKSIMASI DAN GALAT

1.1  Kekeliruan , Kesalahan perumusan dan Ketidakpastian Data

Walau sumber kesalahan di bawah ini secara langsung tak dihubungkan dalam metode

numerik, dampak dari kesalahan ini cukup besar.

A.       Kekeliruan.

Kesalahan bruto/kekeliruan.

Tahun awal penggunaan komputer, komputer sering kali gagal pakai (malfunction).

Sekarang kekeliruan ini dihubungkan dengan ketidaksempurnaan manusianya.

Kekeliruan  dapat  terjadi  pada  sembarang  langkah  proses  pemodelan  matematika  dan  dapat mengambil bagian terhadap semua komponen kesalahan lainnya. Ia hanya dapat dicegah oleh pengetahuan yang baik tentang prinsip dasar dan berhati-hatilah dalam melakukan pendekatan dan mendesain solusi untuk masalah anda.

Biasanya tak dianggap dalam pembahasan metode numerik.  Ini terjadi, karena kesalahan bruto sampai taraf tertentu tak dapat dihindari. Tapi tentu saja pasti ada cara untuk memperbaiki keadaan ini.

Misalnya:  kebiasaan  pemrograman  yang  baik,  seperti  yang  dibahas  dalam  bab  2,  sangat berguna untuk mengurangi kekeliruan pemrograman. Sebagai tambahan, terdapat juga cara-

cara  sederhana  untuk  memeriksa  apakah  suatu  metode  numerik  tertentu  bekerja  secara sempurna.

B.       Kesalahan Perumusan.

Kesalahan perumusan model dihubungkan dengan penyimpangan yang dapat dianggap berasal dari model matematika yang tak sempurna.

Contoh: fakta bahwa hukum Newton kedua tak menghitung efek relativistik. Ini tak mengurangi

kelayakan solusi pada contoh sebelumnya, karena kesalahan-kesalahan ini adalah minimal pada skala waktu dan ruang dari seorang penerjun payung.

 Anggap  bahwa  tahanan  udara  bukan  proporsi  linier  terhadap  kecepatan  jatuh  seperti  dalam persamaan  tetapi merupakan sebuah fungsi kuadrat kecepatan. Kalau hal ini benar, baik

kedua  solusi  analitis  maupun  numerik  yang  diperoleh  dalam  bab  1  hasilnya  menjadi  salah

karena kesalahan perumusan.

C.       Ketidakpastian Data.

Kesalahan-kesalahan seringkali masuk ke dalam suatu analisis karena ketidakpastian data fisika yang mendasari suatu model.

Misalnya kita ingin menguji model penerjun payung dengan loncatan-loncatan berulang yang dibuatnya, mengukur kecepatan orang tersebut setelah interval waktu tertentu.

Ketidakpastian  yang  menyertai  pengukuran-pengukuran  ini  tak  diragukan,  karena  penerjun akan  jatuh  lebih  cepat  selama  beberapa  loncatan  daripada  loncatan  lainnya.  Kesalahan-

kesalahan ini dapat memunculkan ketidak akuratan dan ketidak presisian.

Jika  instrumen  kita  menaksir  terlalu  rendah  atau  terlalu  tinggi  terhadap  kecepatan,  kita menghadapi suatu alat yang tak akurat atau menyimpang.

Pada keadaan lainnya, jika pengukuran tinggi dan rendah secara acak, kita akan berhadapan dengan sebuah pertanyaan mengenai kepresisian.

Kesalahan-kesalahan  pengukuran  dapat  dikuantifikasikan  dengan  meringkaskan  data  dengan

satu  atau  lebih  statistik  yang  dipilih  yang  membawa  sebanyak  mungkin  informasi  mengenai sifat-sifat data tertentu.

Statistik  yang  deskriptif  ini  kebanyakan  sering  dipilih  untuk  menyatakan  (1)  letak  pusat distribusi  data,  dan  (2)  tingkat  penyebaran  data.  Hal  demikian  memberikan  suatu  ukuran penyimpangan dan ketidakpresisian.

1.2  Analisis Galat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

Nilai sejati ( true value ) = Hampiran (aproksimasi) + Galat

Misalkan  adalah nilai hampiran terhadap nilai sejatinya a , maka selisih

disebut Galat. Jika tanda Galat ( positif atau negatif ) tidak dipertimbangkan , maka Galat mutlak

Ukuran galat kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

Galat Relatif didefinisikan sebagai

Atau dalam persentase

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga relatif sejati. Dalam praktek ketika kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat sering dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran

Salah satu tantangan metode numerik adalah menentukan taksiran galat tanpa mengetahui nilai sejatinya. Misalnya, metode numerik tertentu memakai pendekatan secara iterasi untuk menhitung jawaban. Dalam pendekatan yang demikian, suatu aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya. Proses ini dilakukan secara berulang , atau secara iterasi dengan maksud secara beruntun menghitung aproksimasi yang lebih dan lebih baik. Jadi, persen galat relatif :

Komputasi diulang sampai

Nilai menentukan ketelitian solusi numerik. Semakin kecil nilai semakin teliti solusinya.

Soal

1. Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. hitunglah galat, galat mutlak, dan galat relatif hampiran.
2. Prosedur iterasi sebagai berikut  r = 0, 1, 2, 3, ...

dan = 0.00001

Sumber Utama Galat Numerik

Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik

1. Galat pembulatan ( round-off error )

Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal inikomputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalamkomputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkangalat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333. Contoh dalam sistem biner misalnya

1/10 = 0.000110011001100110011 00110011…2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua buah cara penyajian bilangan riil, yaitu bilangan titik-tetap (fixed point) dan bilangan titik-kambang (floatingpoint) Dalam format bilangan titik -tetap setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap, misalnya 62.358, 0.013, 1.000. Sedangkan dalam format bilangan titik-kambang setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap, misalnya 0.6238 103 0.1714 10-13 atau ditulis juga 0.6238E+03 0.1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik-kambang disebut juga angka bena (significant figure). Konsep angka bena dijelaskan berikut ini.

Contohnya:

43.123                   memiliki 5 angka bena (yaitu 4,3,1,2,3)

0.0000012             memiliki 2 angka bena (yaitu 1,2)

270.0090               memiliki 7 angka bena (yaitu 2,7,0,0,0,9,0)

2. Galat Pemotongan ( truncation error )

Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah komputasi yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam metode numerik yang penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi yang  jumlahnya tak terhingga, sehingga untuk membatasi proses penghitungan, jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n. Hasil penghitungan sampai langkah ke n akan menjadi hasil hampiran dan nilai penghitungan langkah n keatas akan menjadi galat pemotongan. dalam hal ini galat pemotongan kan menjadi sangat kecil sekali jika nilai n di perbesar. Konsekuensinya tentu saja jumlah proses penghitungannya akan semakin banyak.

            Contoh:

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xₒ = 1 untuk menghampiri ln(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemtongan maksimum yang dibuat.

Penyelesaian:

Tentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) terlabih dahulu

f(x) = ln(x)                               f(1)=0

f’(x) = 1/x                                f’(1)=1

f’’(x) = -1/x2                                f’’(1)=-1

f’’’(x) = 2/x3                                f’’’(1)=2

f(4)(x) = -6/x4                              f(4)(1)=-6

f(5)(x) = 24/x5                          f(5)(c)=24/c5

Deret Taylornya adalah

ln(x) = (x-1) – (x-1)2/2 + (x-1)3/3 – (x-1)4/4 + R4(x)

dan

ln(0.9) = -0.1 – (-0.1)2/2 + (-0.1)3/3 – (-0.1)4/4 + R4(x) = -0.105358 + R4(x)

juga

Dan nilai Max |24/c5| di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada c = 0.9 (dengan mendasari pada fakta bahwa pada suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil). Sehingga

Jadi ln(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034.

3.       Galat Total

          Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya menggunakan deret Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0.2) sebagai berikut:

Cos(0.2) ≈ 1 – 0.22/2 + 0.24/24 ≈ 0.9800667

Selain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain :

1. Galat eksperimental , galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.
2. Galat pemrograman. Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan bug. Dan proses penghilangan galat dinamakan debugging.

Read More ->>

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ( RPP ) 2013 SMP/MTS

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(SATU PERTEMUAN)

Nama Sekolah                                   : SMP 1 masbagik

Mata Pelajaran                                 : Matematika

Kelas/Semester                                : VII/Satu

Jumlah Pertemuan seluruhnya  : 7 pertemuan

Alokasi Waktu  seluruhnya           :  17 jam @ 40 menit 

Pertemuan ke                                   : 1 dari 7 pertemuan

Alokasi Waktu  Pertemuan ke-1                :  2 jam @ 40 menit 

A.   Kompetensi Dasar:

1.    Menunjukkan perilaku ingin tahu dalam melakukan aktivitas di rumah, sekolah, dan masyarakat sebagai wujud implementasi penyelidikan tentang persamaan dan pertidaksamaan linear.

2.    Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear  satu variabel.

3.    Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel.

B.     IndikatorPencapaian Kompetensi

Siswa mampu:

1.    menunjukkan rasa ingin tahu dalam melakukan penyelidikan tentang persamaan dan pertidaksamaan linear.

2.    bertanggungjawab dalam kelompok belajarnya;

3.    mengidentifikasi unsur-unsur bentuk aljabar;

4.    menyusun bentuk aljabar;

5.    melakukan operasi bentuk aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan);

6.    menentukan nilai variabel dari suatu persamaan linear satu variabel;

7.    membuat model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel;

8.    menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linier satu variabel;

9.    menentukan nilai variabel dari suatu pertidaksamaan linear satu variabel;

10. membuat model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan pertidaksamaan linier satu variabel;

11. menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel;

C.     Tujuan Pembelajaran

Melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok,  siswa dapat: mengembangkan rasa ingin tahu dan tanggungjawab kelompok dalam:

Pertemuan-1(2 × 40 menit)

1.    menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses pembelajaran

2.    bertanggungjawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugas

3.    mengidentifikasi unsur-unsur bentuk aljabar yang melibatkan peristiwa sehari-hari;

4.    mengidentifikasi unsur-unsur bentuk aljabar yang melibatkan konsep matematika;

5.    menyusun bentuk aljabar yang melibatkan peristiwa sehari-hari;

6.    menyusun bentuk aljabar yang melibatkan konsep matematika.

Pertemuan-2 (3× 40 menit)

1.    menunjukkan ingin tahu selama proses pembelajaran

2.    bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugas

3.    mengidentifikasi suku-suku sejenis dan tidak sejenis;

4.    melakukan penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar;

5.    melakukan perkalian dan pembagian bentuk aljabar;

6.    melakukan perpangkatan bentuk aljabar.

Pertemuan-3(2 × 40 menit)

1.    menunjukkan ingin tahu selama proses pembelajaran

2.    bertanggungjawab dalam kelompoknya dalam menyelesaikan tugas

3.    menyusun persamaan linear satu variabel yang melibatkan konsep matematika;

4.    menyelesaikan suatu persamaan linear satu variabel.

Pertemuan-4(3 × 40 menit)

1.    menunjukkan ingin tahu selama proses pembelajaran

2.    bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugas

3.    membuat model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel;

4.    merumuskan masalah nyata berdasarkan model matematika yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel;

5.    menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel.

Pertemuan-5 (2 × 40 menit)

1.    menunjukkan ingin tahu selama proses pembelajaran

2.    bertanggungjawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugas

3.    menyusun pertidaksamaan linear satu variabel yang melibatkan konsep matematika;

4.    menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear satu variabel.

Pertemuan-6(3 × 40 menit)

1.    menunjukkan ingin tahu selama proses pembelajaran

2.    bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugas

3.    membuat model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel;

4.    merumuskan masalah nyata berdasarkan model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel;

5.    menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel.

Pertemuan-7(2 × 40 menit)

Ulangan harian dan pembahasan.

D.   Materi Ajar Pertemuan Ke-1: 

Siswa SMP/MTs mempelajari Aljabar untuk pertama kali adalah pada Kompetensi Dasar (KD) ini. KD ini dipelajari dalam beberapa kali pertemuan. Ada beberapa tahapan kemampuan berurutan yang harus dilalui siswa dalam mempelajari KD ini, yaitu:

1.    mengidentifikasi unsur-unsur bentuk aljabar (variabel, konstanta, suku, suku-suku sejenis dan tidak sejenis, koefisien) dan menyusun bentuk aljabar;

2.    melakukan operasi bentuk Aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,  perpangkatan);

3.    menyelesaikan persamaan linear satu variabel;

4.    menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel.

Kemampuan-kemampuan tersebut berhubungan hirarkis, sehingga tahapan nomor-1 harus ditempuh sebelum mempelajari tahapan nomor 2, tahapan nomor 2 harus ditempuh sebelum mempelajari tahapan nomor 3, dan seterusnya.

RPP ini adalah rancangan pembelajaran yang terkait tahapan nomor 1.

Materi ajar yang dipelajari siswa selama pertemuan pelaksanaan pembelajaran yang menggunakan  RPP ini adalah: Pengertian Aljabar, Simbol Aljabar, Variabel Aljabar, Konstanta Aljabar, Bentuk Aljabar, Suku Aljabar, Koefisien Aljabar.

1.    Aljabar: Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari penyederhanaan dan pemecahan masalah dengan menggunakan “simbol”.

2.    Simbol atau Lambang Aljabar:

Simbol adalah huruf atau tanda yang digunakan untuk menyatakan unsur, senyawa, sifat, atau satuan matematika (KBBI). Simbol bilangan disebut angka.  Angka 5 merupakan simbol untuk menyatakan hasil dari mencacah benda sebanyak 5 buah atau hasil menghitung frekuensi kemunculan suatu peristiwa sebanyak 5 kali.

Simbol Aljabar adalah  simbol yang mewakili (menunjuk) sebarang bilangan.  Simbol Aljabar dapat terdiri dari huruf, tanda tertentu, atau bilangan. Pada sebarang simbol Aljabar dapat diberikan nilai (bilangan) tertentu sesuai persyaratan yang dikehendaki.

Contoh-1:

”Banyaknya pohon jati milik Pak Amir 10 batang kurangnya dari pohon milik Pak Budi. Berapakah kemungkinan pohon Pak Amir dan Pak Budi?”. Pembahasan:

a.     Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dimisalkan banyak pohon Pak Amir diwakilkan kepada simbol Aljabar p, sehingga p ini adalah banyak pohon milik Pak Amir.  Dengan demikian berarti banyak pohon Pak Budi p + 10 batang.

b.    Karena tidak ada petunjuk berapa banyak pohon Pak Amir atau Pak Budi, maka p dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan banyak pohon. Boleh jadi p mewakili bilangan 10, sehingga banyak pohon Pak Amir ada 10 batang dan pohon Pak Budi ada 10+10 atau 20 batang. Boleh jadip mewakili 15, sehingga banyak pohon Pak Amir ada 15 batang dan pohon Pak Budi ada 15+10 atau 25 batang. 

c.     Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh p, dengan syarat  p dan  p+10 mewakili bilangan banyak pohon yang mungkin dimiliki oleh seseorang. Dalam hal ini tidak mungkin seseorang sampai memiliki satu triliun pohon. 

d.    Kesimpulan: p dapat mewakili bilangan tertentu dengan persyaratan bahwa p dan  p+10 adalah banyak pohon yang memungkinkan untuk dimiliki oleh Pak Amir dan Pak Budi. Semesta pembicaraan adalah banyak pohon yang memungkinkan dimiliki oleh Pak Amir dan Pak Budi.

Contoh-2:

 ”Tahun ini umur Dika dua kali umur Syauki, sedangkan umur Santi 1 tahun lebih tua dari Dika. Berapakah kemungkinan umur Dika, Syauki,  dan Santi tahun ini?”. Pembahasan:

a.    Umur seseorang dalam tahun menunjukkan hasil mencacah satu kali dalam setahun secara berurutan sejak lahir sampai tahun terakhir kehidupan orang tersebut. Dengan demikian umur menunjukkan bilangan.

b.    Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka umur Syauki tahun ini dapat diwakilkan kepada simbol Aljabar U, sehingga U ini mewakili bilangan umur Syauki.  Ini berarti tahun ini umur Syauki U tahun, umur Dika 2×U atau 2U tahun, sedangkan umur Santi (2U+1) tahun.

c.     Karena tidak ada petunjuk berapa umur Syauki, Dika dan Santi pada tahun ini maka U dapat diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan umur manusia. Boleh jadi U mewakili bilangan 1, sehingga tahun ini umur Syauki 1 tahun, umur Dika 2×1 atau 2 tahun, dan umur Santi  2+1 atau 3 tahun. Boleh jadi U mewakili 5, sehingga tahun ini umur Syauki 5 tahun, umur Dika 2×5 atau 10 tahun dan umur Santi 10+1atau 11 tahun. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh U, dengan syarat U mewakili bilangan umur manusia dan mengakibatkan U, 2U dan 2U + 1 juga mewakili bilangan umur manusia. 

d.    Kesimpulan: U dapat mewakili sebarang bilangan dengan persyaratan bahwa U, 2U,  2U+1 adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini Semesta pembicaraan kejadian tesebut adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini.

Contoh-3:

Toko buah KURNIA milik Pak Arif mengemas apel dalam kotak-kotak. Setiap kotak berisi  beberapa biji apel yang sama banyak.  Beberapa kotak apel dikemas dalam satu dos besar. Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam satu kotak ? Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam satu dos besar?Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam dua dos besar?Pembahasan:

a.    Misalkan banyak apel dalam satu kotak ada a apel, maka dalam dua kotak ada a + a atau 2a apel, dalam 3 kotak ada a+a+a atau 3a apel.  Jika satu kotak berisi 10 apel, dua kotak berisi 20 apel, dan 3 kotak berisi 30 apel. Ini berarti a mewakili 10 apel.

b.    Bila ada a² apel, berarti ada a kotak apel yang masing-masing kotak berisi a apel. Alasan: a² berarti a×a atau (a+a+a+a+...+a) sebanyak a. Jika tiap satu kotak berisi 10 apel, berarti ada 10 kotak apel, sehingga banyaknya apel dalam a²apel  ada 10×10 apel atau ada 100 apel.

c.     Misalkan satu dos besar dapat memuat n kotak apel, berarti n mewakili banyak kotak apel dalam dos besar. Jika ada 2 dos besar berarti dalam 2 dos besar tersebut ada 2×n  kotak apel.

d.    Karena dalam satu kotak apel ada a butir apel, dan dalam satu dos besar ada n kotak apel, maka dalam satu dos besar  ada n×a butir apel dan dalam 2 dos besar ada 2×n×a.

Kesepakatan:

a.    Tanda operasi kali tidak ditulis. Contoh: 3×d  atau 3.d  dan ditulis 3d , A + A = 2. A = 2A

b.    Simbol Aljabar yang berdekatan diartikan sebagai perkalian. Contoh: pq berarti p×q  atau berarti p.q

c.     p² berarti p×p atau berarti p.p, dan dapat ditulis pp, dengan p adalah simbol Aljabar.

d.    p²p⁴ berarti p²×p⁴ atau berarti p².p⁴, atau berarti (p.p).(p.p.p.p) atau berarti (p×p)×(p×p×p×p), dan dapat ditulis (pp)(pppp)dengan p adalah simbol Aljabar.

e.    Istilah-istilah yang tergolong simbol Aljabar antara lain adalah variabel (peubah),  konstanta, suku, koefisien, dan bentuk Aljabar. Dalam matematika, istilah-istilah tersebut selanjutnya disebut variabel (peubah), kontanta, bentuk Aljabar, suku, koefisien.

3.    Variabel (Peubah)

      Variabel (peubah) adalah simbol Aljabar atau gabungan simbol Aljabar yang mewakili sebarang bilangan dalam semestanya.

a.    Simbol Aljabar p pada contoh-1, U pada contoh-2, dan a  pada contoh-3 dalam uraian di atas adalah contoh variabel karena p mewakili banyak pohon yang mungkin dimiliki Pak Amir, U mewakili sebarang bilangan umur manusia dan a mewakili banyak butir apel dalam satu kotak.

b.    Variabel (peubah) umumnya disimbolkan dengan huruf kecil atau huruf besar.

4.    Konstanta Aljabar:

Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau menunjuk anggota tertentu pada suatu semesta pembicaraan.

a.    Dalam contoh-1 uraian di atas, p adalah variabel dengan p mewakili bilangan yang menunjukkan banyak pohon Pak Amir. p+10 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan banyak pohon milik Pak Budi. Dalam hal ini 10 disebut konstanta karena 10 tersebut menunjuk banyak pohon tertentu, yaitu 10 pohon.

b.    Dalam contoh-2 uraian di atas, U adalah variabel dengan U mewakili bilangan yang menunjukkan umur Syauki. 2U adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan umur Dika. 2U+1 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan umur Santi. Dalam hal ini 1 disebut konstanta karena 1 tersebut menunjuk umur tertentu, yaitu 1 tahun.

c.     Catatan: Bila dijumpai konstanta negatif, misalnya dalam bentuk  x- 100, dengan konstanta -100, maka konstanta negatif tersebut tidak perlu dikongkretkan. Dalam proses pembelajaran, konstanta negatif tersebut sudah menjadi ranah pembahasan matematika vertikal yaitu pembahasan tentang konsep matematika secara abstrak.

5.    Suku Aljabar:

a.    Suku dapat berupa sebuah konstanta atau sebuah variabel. Suku dapat pula berupa hasil kali atau hasil pangkat atau hasil pernarikan akar konstanta atau variabel, tetapi bukan penjumlahan dari konstanta atau variabel.

b.    Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang variabelnya menggunakan simbol yang sama, baik dalam huruf maupun pangkatnya. Bila a dan b adalah variabel, maka a, 2a, 10a adalah suku-suku sejenis, a dan 2b suku-suku tidak sejenis.

c.     Pada contoh-1 uraian di atas, p dan 10 masing-masing disebut suku. Pada contoh-2 di atas U, 2U, 1  disebut suku, dengan U dan 2U disebut suku sejenis. Pada contoh-3 di atas, a, 2a, 3a, an, 2an disebut suku.  a, 2a, 3a adalah suku-suku sejenis. an dan2an juga suku-suku sejenis.

6.    Koefisien aljabar:

Koefisien adalah bagian konstanta dari suku-suku yang memuat atau menyatakan banyaknya variabel yang bersangkutan. Pada contoh-1 uraian di atas, koefisien dari p adalah 1 (satu). Pada contoh-2,  koefisien dari U adalah 1, koefisien dari 2U adalah 2 dan koefisien3U adalah 3. Pada contoh-3, koefisien dari 3 adalah 3.

7.    Bentuk Aljabar:

a.    Bentuk aljabar adalah semua huruf dan angka atau gabungannya yang merupakan simbol aljabar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan atau penarikan akar dari satu atau lebih simbol aljabar juga merupakan bentuk aljabar.

b.    Bentuk Aljabar dalam x berarti bentuk Aljabar dengan variabel x, sehingga simbol lainnya (huruf atau angka) bukan merupakan variabel.Contoh:

1)    3x +5 adalah bentuk aljabar dalam x.

2)    5 − y adalah bentuk aljabar dalam y.

3)    ax +bx +c adalah bentuk Aljabar dalam x, dengan a, b, c bukan variabel, tetapi konstanta. Dalam hal ini konstanta a dan b disebut koefisien, sedang c disebut konstanta.

4)    p² adalah bentuk aljabar dalam p.

c.     Pada contoh-1 uraian di atas, p dan p+10 masing-masing merupakan bentuk aljabar. Pada contoh-2 di atas,  U, 2U, dan 2U+1 masing-masing merupakan bentuk aljabar. Pada contoh-3, a, 2a, 3a juga merupakan bentuk aljabar.

d.    Bentuk Aljabar terdiri satu suku disebut suku satu. Contoh: 3y, x², - 4x. Bentuk Aljabar terdiri dua suku disebut suku dua (binom). Contoh: x²− 4, 5y+6.

Daftar Bacaan

Krismanto.Al. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Di Kelas VII SMP. Modul Matematika SMP Program BERMUTU. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.

Sri Wardhani.2004. Permasalahan Kontekstual Mengenalkan Bentuk Aljabar di SMP. Paket Pembinaan Penataran Bagi Alumni Diklat Guru Matematika SMP oleh PPPPG Matematika Tahun 2004. Yogyakarta: PPPPG Matematika

E.    Metode Pembelajaran Pertemuan Ke-1

Pengamatan, tanya-jawab, penugasan individu dan kelompok, dan diskusi kelompok.

F.    Kegiatan Pembelajaran Pertemuan Ke-1

Kegiatan	Deskripsi Kegiatan	Waktu
Penda-huluan	1.      Guru memberi salam dan mengajak siswa berdoa; 2.      Guru menanyakan kabar dan mengecek kehadiran siswa serta berdoa; 3.      Siswa mendengarkan dan menanggapi cerita guru tentang manfaat belajar Aljabar dalam kehidupan sehari-hari; 4.      Guru mengkomunikasikan tujuan belajar dan hasil belajar yang diharapkan akan dicapai siswa; 5.      Guru menginformasikan cara belajar yang akan ditempuh (pengamatan dan demonstrasi disertai tanya jawab, latihan individu dilanjutkan kelompok, pembahasan latihan secara klasikal, latihan berpasangan, pembahasan secara klasikal, pemajangan hasil latihan) 6.      Guru mengecek kemampuan prasyarat siswa dengan tanya jawab	15 menit
Inti	1.    Siswa mengamati, mencermati dan menjawab pertanyaan terkait contoh peristiwa sehari-hari yang berhubungan dengan simbol Aljabar (ada 3 contoh); 2.    Siswa menganalisis, menalar,  mencoba dan menyimpulkan pengertian dari simbol Aljabar variabel, konstanta, suku, koefisien, bentuk Aljabar berdasarkan hasil pengamatan dan tanya-jawab pada sajian contoh peristiwa sehari-hari yang berhubungan dengan simbol Aljabar; 3.    Secara individu siswa menyelesaikan tugas Latihan-1 tentang menyusun dan mengidentifikasi unsur-unsur bentuk Aljabar yang melibatkan peristiwa sehari-hari dan konsep matematika; 4.    Secara kelompok, siswa berdiskusi membahas hasil tugas Latihan-1. Anggota  kelompok saling memeriksa, mengoreksi dan memberikan masukan; 5.    Beberapa siswa wakil kelompok (minimal tiga orang) melaporkan hasil penyelesaian Latihan-1. Siswa tersebut ditunjuk secara acak oleh guru; 6.    Siswa dan guru membahas hasil penyelesaian Latihan-1. Guru memberikan umpan balik; 7.    Secara berpasangan siswa menyelesaikan Latihan-2 tentang menyusun dan mengidentifikasi unsur-unsur bentuk Aljabar yang melibatkan peristiwa sehari-hari dan konsep matematika; 8.    Siswa dan guru membahas hasilan Latihan-2. Guru memberi umpan balik. Hasil Latihan-2 dipajang di tempat pajangan hasil karya.	60 menit
Penutup	1.      Siswa dan guru merangkum isi pembelajaran yaitu tentang pengertian variabel, konstanta, suku, koefisien, dan bentuk Aljabar.  2.      Siswa melakukan refleksi dengan dipandu oleh Guru; 3.      Guru memberi pekerjaan rumah; 4.      Guru menginformasikan garis besar isi kegiatan pada pertemuan berikutnya, yaitu mengerjakan kuis tentang mengidentifikasi unsur-unsur bentuk Aljabar dan dilanjutkan belajar melakukan operasi bentuk Aljabar.	5 menit

G.   Penilaian Pertemuan Ke-1

1.    Prosedur Penilaian:

No	Aspek yang dinilai	Teknik Penilaian	Waktu Penilaian
1	Rasa ingin tahu	Pengamatan	Kegiatan inti nomor 1, 2, 6, 8
2	Tanggungjawab dalam kelompok	Pengamatan	Kegiatan inti nomor 3, 4, 5, 7
3	Pengetahuan dan keterampilan matematika	Kuis	Awal pertemuan ke-2
		Portofolio Hasil Latihan-2	Akhir pertemuan ke-1

2.    Instrumen penilaian:

KUIS  (Waktu: maksimal 10 menit)

Petunjuk:

1.    Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak boleh bekerjasama.

2.    Pilihlah jawaban soal kemudian jawablah pertanyaan/perintah di bawahnya.

Soal:

Gambar     mewakili bilangan yang menyatakan banyaknya buku yang dibaca Lina setiap pekan.

Manakah diantara bentuk berikut ini yang menyatakan banyaknya buku yang dibaca Lina dalam 6 pekan?

A.     6 +

B.    6 ´

C.     +   6

D.  (     +          ) ´ 6

a.   Pilihan jawaban: ………….………………………….………………………….………….........................................

      Alasan pilihan jawaban: ……………………………….…………………….…………….......................................

b.      Bilangan apakah yang diwakili oleh  symbol        ? Jawab:…….………….…..……………...........

       Alasan jawaban: …………………………….……………………….………..…………….......................................

c.       Adakah suku pada pilihan jawabanmu ?  Jawab: Ya/Tidak ada^*)

Jika ada tunjukkan dan jika tidak ada tuliskan alasannya. Jawab………………………....................

d.     Apakah pilihan jawabanmu merupakan bentuk Aljabar? Jawab: Ya/Tidak^*)

Alasan: …………………………………………………………………………………..................................................

e.      Manakah variabel,  konstanta dan koefisien pada pilihan jawabanmu?.

Variabel         :………………………………………………………………………………….................

Konstanta     :…………………………………………………………………………………...................

Koefisien             :…………………………………………………………………………………....................

^*) = coret yang bukan pilihanmu

Kunci Jawaban:

a.    Pilihan jawaban adalah B, yaitu: 6 ×           Alasan:                

Dalam 6 pekan, Lina membaca novel sebanyak          + ++       ++  

atau 6 ×        atau  6

b.      Bilangan bulat positif, karena banyak novel merupakan hasil mencacah banyak benda, yaitu 1, 2, 3, 4, …

c.       Ada. Suku :  6

d.    Ya. Alasan:       mewakili bilangan banyak novel yang dibaca Lina tiap pekan, sehingga      merupakan simbol Aljabar, dan berarti  6×       juga merupakan simbol Aljabar. Oleh karena itu  6 ×       merupakan bentuk Aljabar.

e.      Variabelnya adalah  ,  konstantanya tidak ada, koefisien variabelnya adalah 6.

Pedoman Penilaian:

No Soal	Aspek Penilaian	Rubrik Penilaian	Skor	Skor Maksimal
	Pilihan jawaban	Benar	10	25
		Salah	3
		Tidak ada pilihan jawaban	0
	Alasan jawaban	Benar	15
		Sebagian besar benar	10
		Sebagian kecil benar	5
		Tidak ada alasan jawaban	0
	Jawaban	Benar	10	20
		Salah	3
		Tidak ada jawaban	0
	Alasan jawaban	Seluruhnya benar	10
		Sebagian besar benar	7
		Sebagian kecil benar	3
		Tidak ada alasan jawaban	0
	Pilihan jawaban	Jawaban: Ada	8	15
		Jawaban : Tidak ada	3
		Tidak ada jawaban	0
	Macam jawaban	Benar	7
		Salah	3
		Tidak ada jawaban	0
	Pilihan jawaban	Jawaban: Ya	10	25
		Jawaban : Tidak	5
		Tidak ada jawaban	0
	Alasan jawaban	Seluruhnya benar	15
		Sebagian besar benar	10
		Sebagian kecil benar	5
		Tidak ada alasan jawaban	0
	Macam jawaban	Tiga jawaban benar	15	15
		Dua jawaban benar	10
		Satu jawaban benar	5
		Semua jawaban salah	2
		Tidak ada jawaban	0
	Skor maksimal =		-	100
	Skor minimal =		-	0

LEMBAR PENGAMATAN PERKEMBANGAN SIKAP

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Semester               : VII/1

Tahun Pelajaran               : 2013/2014

Waktu Pengamatan        : ..........................................................................

Kompetensi Dasar           :  Nomor  2.2, 3.3, 4.2

Sikap yang dikembangkan dalam proses pembelajaran adalah rasa ingin tahu dan tanggung jawab dalam kelompok.

Indikator perkembangan sikap INGIN TAHU

1.       Kurang baikjika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses pembelajaran

2.       Baik jika menunjukkan sudah ada  usaha untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran tetapi masih belum ajeg/konsisten 

3.       Sangat baikjika menunjukkan adanya  usaha untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten

Indikator perkembangan sikap TANGGUNGJAWAB (dalam kelompok)

1.       Kurang baikjika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam melaksanakan tugas kelompok

2.       Baik jika menunjukkan sudah ada  usaha ambil bagian dalam melaksanakan tugas-tugas kelompok  tetapi belum ajeg/konsisten

3.       Sangat baikjika menunjukkan sudah ambil bagian  dalam menyelesaikan tugas kelompok  secara terus menerus dan ajeg/konsisten

Bubuhkan tanda V pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.

NO	Nama	Rasa ingin tahu			Tanggungjawab
		SB	B	KB	SB	B	KB
1
2
3
...
32

SB = sangat baik    B = baik        KB = kurang baik                                                                                                  

SELONG.................2013                                                                                                                   Pengamat

                                                                                                                                                                                                                                                      (..............................)

                                                                                                               

H.   Sumber Belajar Pertemuan Ke-1

1.       Bahan informasi tentang pengertian dan manfaat belajar Aljabar;

2.       Daftar pertanyaan untuk apersepsi;

3.       Contoh peristiwa sehari-hari yang berhubungan dengan unsur-unsur bentuk Aljabar;

4.       Bahan latihan-1;

5.       Bahan latihan-2;

6.       Bahan pekerjaan rumah;

7.       Buku Siswa Mata Pelajaran Matematika Jilid VII.

selong,     desember          2013

       Kepala Sekolah                                                                                                                  Guru

                               

      (PULAN, S.Pd)                                                                                                            (Sri Wardhani)

Read More ->>